
\prob{002F}{数字推盘游戏}

\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \image{002F}
  \caption{002F：数字推盘游戏} \label{fig:002F}
\end{figure}

图~\ref{fig:002F} 是一种数字推盘游戏。推板上有15个滑块，分别写有1～15，还有一个空格在右下角，滑块间没有空隙。你可以把空格四个方向的滑块滑到空格上，即将空格四个方向的滑块之一与空格交换位置，但是不能从推板上拿出滑块。游戏开始时，14与15不在正确的位置（图~\ref{fig:002F}（上）），你的目标是把14和15交换，这样它们就都在正确的位置上了（图~\ref{fig:002F}（下））。

在遵守游戏规则的前提下，交换14和15可能吗？若可能，说明一种滑动的方式；若不可能，说明理由。
\problabels{green/数学谜题}

\ans{不可能；理由略。}

\subsection{奇偶性分析}

基本思路：通过奇偶性分析得知某量的奇偶性不变，又通过游戏开始与游戏结束时该量的奇偶性变化得出结论。

不可能。理由如下：

设空格所在行数为$p$；排列的反序数为$q$。若在一个排列中，一个较大的数排在一个较小的数前面，则构成一个反序；一个排列的反序数就是这个排列中反序的数量，例如$2,5,3,4,1$的反序有$(2,1)$、$(3,1)$、$(4,1)$、$(5,3)$、$(5,4)$、$(5,1)$，因此该排列的反序数为6。将推盘上的滑块从上到下、从左到右排成一个数列，就是一个排列，$q$为该排列的反序数，例如游戏开始时的排列为$1,2,\dots,13,15,14$，其反序数为1。

若将某一滑块左右移动，与空格交换，则既没有改变空格的行数$p$，也没有改变排列，因此$q$亦不变，所以$p + q$不变，奇偶性亦不变。

若将某一滑块上下移动，则既改变了$p$，也改变了$q$。由于空格因为移动向上或向下移动了一格，所以$p$变成了$p \pm1$，因此其奇偶性改变。由于该滑块上下移动，因此在排列中跨越了3个滑块。若该滑块与这3个滑块构成3个反序或没有构成反序，则移动后该滑块与这3个滑块没有构成反序或构成3个反序，因此$q$变为$q \pm3$；若该滑块与这3个滑块构成1个或2个反序，则移动后该滑块与另外2个滑块构成2个反序或与另外一个滑块构成1个反序，即$q$变为$q \pm1$。因此上下移动后，$q$的奇偶性亦改变。由于$p$的奇偶性亦改变，所以$p + q$的奇偶性仍不变。

因此不论滑块如何移动，$p + q$的奇偶性不变。游戏开始时，$p = 4$、$q = 1$，$p + q = 5$，是奇数；而游戏目标中，$p = 4$、$q = 0$，$p + q = 4$是偶数，所以从游戏开始的情况起，不论如何移动滑块，都无法达到游戏目标的情况。
